数学教学不应忽视合情推理,该文是数学教学方面毕业论文开题报告范文与数学教学和不应忽视和合情方面论文参考文献范文.
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摘 要：合情推理是数学研究的起点,是数学发现的重要手段,还能为演绎推理提供思路.在数学教学中,合情推理应该具有相当重要的地位,不应被淡化.为此,要发挥考试的导向作用,将合情推理和数学探究、数学发现结合起来考查,突出思维过程,具体地要做到减少试卷题目的数量,加强“研究型、开放型试题”的设置；还要强化教学的渗透意识,在基础年级的新授课和高三的复习课中始终注意充分运用合情推理,引导学生构建知识、解决问题.
关键词：合情推理数学探究考试导向教学渗透
一、现实背景及原因分析
在我校最近的一次高三数学检测练习中,有这样一道填空题：
已知数列{an}是等差数列,若bn等于a1+2a2+3a3+…+nan1+2+3+…+n,则数列{bn}也是等差数列.类比上述结论,已知数列{an}是等比数列,若bn等于,则数列{bn}也是等比数列.
对于此题,笔者所教的物化班47名学生中,19人没有作答,其余28人的解答也无一正确.
如此全军覆没,到底是什么原因呢？笔者经过反复分析,觉得原因有二：
一是题目本身有一定的难度.一般地,从等差数列到等比数列的类比,结论往往是由加减到乘除、由乘除到乘方开方,但是并不绝对.此题正确类比的结论是bn等于(a11·a22·a33·…·ann)11+2+3+…+n,其中和1+2+3+…+n不应类比为积1·2·3·…·n,这是学生类比错误的重要原因.
二是合情推理问题在考试中淡化,以致在教学中淡化.江苏高考自2008年改革以来,文理通用的正卷部分,只有2008年、2009年各考过一道类比推理的填空题；理科附加题部分,有时会考查一点归纳推理,即由几个特例归纳出一般性结论,然后要求学生用数学归纳法证明.同样的,全国其他省市地区的高考试卷对合情推理的考查要求也都很低.合情推理的考查要求较低,导致教学上的严重淡化,进而导致学生合情推理的经验很少、能力很弱,遇到稍难一点的题目,就完全没有招架之力.
二、合情推理的地位分析
那么,合情推理在数学教学中的地位真的应该这么低吗？我们来看看教材中是怎么说的.
对于归纳推理的特点,苏教版高中数学教材中谈到一点：“归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现和提出问题.”随后还举出了一些重大科学发现的例子来说明：“物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中的开普勒行星运动定律等,也都是在实验和观察的基础上通过归纳发现的.”
关于合情推理和演绎推理的关系,苏教版高中数学教材中谈道：“（1）数学发现活动是一个探索创造的过程.这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程.合情推理和演绎推理相辅相成,相互为用,共同推动着发现活动的进程.（2）合情推理是富于创造性的或然推理,在数学发现活动中,它为演绎推理确定了目标和方向,具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用.（3）演绎推理……”随后还引用了著名数学教育家G.波利亚的精辟论述：“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样,在证明一个数学定理之前,先得猜想这个定理的内容；在完成详细的证明之前,先得推测证明的思路.创造过程是一个艰苦曲折的过程.数学家创造性的工作是论证推理,即证明.但这个证明是通过合情推理、通过猜想发现的.”
由此可见,在数学教学中,合情推理应该具有相当重要的地位,因为它是数学研究的起点,是数学发现的重要手段,还能为演绎推理提供思路.因此,考试淡化合情推理问题是不合适的,教学淡化合情推理内容是没道理的.
当前,教育部门一直在强调新课程理念,强调创新教育,强调培养学生的核心素养.就数学教学而言,加强合情推理的教学不正满足于此吗？
三、发挥考试的导向作用
考试（尤其是高利害的高考）成绩关系到每位学生的切身利益,对每位学生今后的发展有着较大的影响；是教育主管部门考核学校和社会各界人士衡量学校的主要依据,也是学校评价教师的主要标准.因此对于教师的教学,考试（高考）具有强大的导向作用.相比于一些理想的教育理念,教师显然更听考试（高考）的话：怎样能使学生考试（高考）成绩好,就怎么教.
因此,考试（高考）命题应该充分发挥导向作用,加强合情推理的应用引导.
不过,考试淡化合情推理问题是有原因的.笔者参与过大市调研考试的命题工作,在交流过程中从侧面了解到：学生通过合情推理得到的结论有时不正确,但是他们推理的过程也许是正确的,因此作为填空题,不好判分.确实如此,通过合情推理得到的结论往往靠不住,需要通过演绎推理证明真伪（至少需要实例检验）,但是我们不能因为结论的不正确,否定过程的正确性.所以,考试直接考查合情推理是有困难的.
那么,应该怎样考查合情推理呢？基于对合情推理地位的分析,笔者认为考查合情推理应该和考查数学探究、数学发现（分析问题、获得结论）结合起来,突出思维过程（能力立意）.为此,至少要做到两点：
第一,减少试卷题目的数量.张景中院士在“教育数学创新教学实验”课题的报告中谈到,目前高考数学试卷普遍存在题量过大的问题.题目不见得非要多,没必要面面俱到,把所有的知识点都涵盖；题量应该减少,着重基本的东西,让学生有时间思考.试题数量过多,会使学生必须提高做题速度,甚至达到看到题就能做,于是教师只能加大压力、增多作业,要求学生进行高强度、重复性的训练,从而强化题型模式,固化套路技巧,训练熟练程度——实践证明,这样的做法是有效果的,但是,这样的导向是有问题的.试题数量减少,才能使学生降低做题速度,并充分展开思考,从而教师可以在“教”上下功夫,创设丰富的情境,选取适当的主题,引导学生积极、主动地探索问题,发现知识,掌握思想方法,从而培养思维能力,激发学习兴趣——这样的导向才是我们所期望的.
第二,仅仅减少试卷题目的数量是不够的,还要加强“研究型、开放型试题”（当然是主观题,非客观题）的设置.目前高考数学试题的指向性太强,严重限制了考生的发散性思维：考生按照试题的要求,通过严密的演绎推理、精确的数学计算得到准确的答案；从考生的解答过程中,通常看不到个性化的思维过程（观点、想法）.现在是科学（信息）技术高度发达的时代,我们不应该重视机械操作的套路技巧,而应该重视解决问题、获得结论过程中的观点、想法.因此,我们不一定要让考生得到试题的准确答案,而可以引导考生讲一讲试题的分析思路以及解决过程,谈一谈对试题的认识以及由试题得到的发现.
例如,可以设计这样一道试题：
如图1,在平面直角坐标系中,已知椭圆C的方程为x24+y23等于1,AB是过椭圆C右焦点F的任一条弦,D52,0,过点A平行于x轴的直线交BD于点P,试判断点P的轨迹是否为一条直线？请将你的解题过程融于具体的分析思路中,并谈谈你对这道题的认识或发现.
图1
此题能体现合情推理在数学探究与数学发现中的作用.若以此题在一个较大的范围内考试,并给予学生足够的思考时间,定会收获丰富、精彩的解答与发现.以下仅是笔者简单的模拟作答：
解题分析考虑对称性,过右焦点F作另一条弦,与图1中的弦AB关于x轴对称,可以得到另一点,此点与图1中的点P关于x轴对称.所以,如果点P的轨迹是一条直线,那么这条直线必与x轴垂直.因此,本题的解答只需要考虑点P的横坐标是否为定值,可以分为以下三步：
（1）设A(x1,y1)、B(x2,y2),联立直线AP与BD的方程,可解得用以表示点P的横坐标xP等于x2y1+52y2-52y1y2.
（2）联立直线AB与椭圆C的方程,可得点A(x1,y1)、B(x2,y2)横坐标或纵坐标之间的关系.考虑到（1）中点P横坐标的表达式,消去x方便,而且“直线AB的斜率不存在”符合题意,故设直线AB的方程为x等于my+1.由此易得y1+y2等于-6m3m2+4,y1y2等于-93m2+4.
（3）将点A(x1,y1)、B(x2,y2)的纵坐标之间的关系代入点P横坐标的表达式.首先利用直线AB的方程消去x2,得xP等于my1y2+52y2-32y1y2.这时由于表达式的不对称性,代入化简有困难,可以用求根公式解出y1、y2,还可以先找一找点P横坐标这个定值.比如,用后面的方法,可以先假设xp等于λ,得到my1y2等于λ-52y2+32y1,从对称性的角度估计,应有λ-52等于32,即有xP等于4,再化得xP等于my1y2-32(y1+y2)y2+4,代入化简,得到xP等于4.所以点P的轨迹是一条直线.
探究发现由原问题的解答自然而然想到下列问题：如果弦AB不过椭圆C的右焦点F,有没有类似的结论呢？
对此,可以使用归纳推理的手段,比如,考虑弦AB过点F′12,0,即横截距为12时的结论.
（1）初步推测.设D(r,0),得xP等于x2y1+r(y2-y1)y2；另设直线AB的方程为x等于my+12,则xP等于my1y2+ry2+12-ry1y2.如果点P的轨迹是一条与x轴垂直的直线,令xP等于λ,则my1y2等于r-12y1+(λ-r)y2；若能利用根与系数的关系代入化简,则应有r-12等于λ-r,即2r等于12+λ.
（2）代入化简.联立直线AB与椭圆C的方程,可得y1+y2等于-3m3m2+4,y1y2等于-454(3m2+4),代入my1y2等于r-12(y1+y2),化简得r等于174,所以λ等于8.
（3）归纳推理.通过原题的解答以及变换弦AB的条件,易发现两个规律：xF′+xP等于2xD;xF′·xP等于a2等于4.由此,可猜想出下列结论：已知椭圆C的方程为x24+y23等于1,AB是过椭圆C长轴上一点F′(r,0)的任一条弦,那么,在x轴上总存在一个定点D,使得过点A平行于x轴的直线交BD于点P,点P的轨迹为一条直线,其中,Dr2+2r,0,点P的轨迹方程为x等于4r.
四、强化教学的渗透意识
毫无疑问,目前数学高考试卷是存在一点问题的,但也不是一无是处.笔者在教学中也发现一些现象：有些教师的课堂强度大、课后作业多,对学生的要求也高,他们所教班级的平时成绩确实不错,但高考成绩却平平,甚至不如人意.究其原因,平时的试卷陈题多,教师讲得多,学生见识广,加之练习量大,熟练程度高,自然能取得好成绩；然而高考试卷要注重公平性、选拔性等原则,体现能力立意,不少试题都是命题专家花费很大心思编拟出来的,有一定的新颖性,需要较强的思维能力才能完成,学生没有见过,仅靠对陈题的熟练度是不能解决的,成绩不理想也就不足为怪了.
因此,我们即使无法左右、决定（可以呼吁、建议）高考命题,也应遵守教学理念,注重探究、发现式教学.如此,不仅可以培养学生的思维能力,激发学生的学习兴趣,往往也能帮助学生在高考中取得优异成绩.
作为探究、发现的重要手段,合情推理应该渗透在整个高中数学教学过程中：无论是基础年级的新授课,还是高三的复习课,无论是概念课题、命题课,还是习题课,都需要运用它,而不能只是在“合情推理”主题教学中运用它.对此,我们要强化教学的渗透意识.
在基础年级的新授课中,我们要充分运用合情推理,引导学生构建知识.如探究两角差的余弦公式时,可以运用归纳推理,对cos(α-β)中的α、β取特殊值,研究共性规律,归纳结论,发现公式,然后证明.又如归纳得出等差数列的通项公式,类比得出双曲线的几何性质等等.
在高三的复习课中,我们也要充分运用合情推理,引导学生解决问题.对于例题的探究教学,仅仅让学生会做是不行的.为什么这样做？得让学生学会思考分析.问题的背景是什么？可以变化、推广吗？得让学生发现本质,总结一般性结论.如对于上文试题的教学,仅让学生学会解答是不够的,而要展示思路的分析过程,要总结探究的思维方法,要能够发现一般性结论.如此,久而久之,学生的思维能力就得到发展了.
总之,数学教学要培养学生的思维能力,让学生学会运用数学思想方法建构知识,解决问题.为此,我们一定要重视像合情推理这样的数学思想方法的教学.
*本文系江苏省教育科学“十二五”规划2015年度重点自筹课题“基于认知工具的中学数学实验教学研究”（编号：B-b/2015/01/088）的阶段性研究成果.
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