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关于微分方程类论文范本 和一类退化非线性微分方程的正规形计算相关论文怎么写

主题:微分方程论文写作 时间:2024-01-16

一类退化非线性微分方程的正规形计算,本文是微分方程方面有关论文范本与微分方程和非线性和退化有关论文怎么写.

微分方程论文参考文献:

微分方程论文参考文献 正规刊物查询商情是正规期刊吗新教育时代是正规期刊吗正规论文格式

张晶,黄土森

(浙江理工大学理学院,杭州 310018)

摘 要: 对于退化非线性微分方程,给出了其主微分方程的保守耗散分解,并证明了这种分解的几个性质.利用这些性质,把求定义在齐次向量场空间上的同调算子值域补空间,转化为求定义在齐次多项式空间上李导数算子值域补空间.在主微分方程是哈密尔顿的并且哈密尔顿函数在复多项式环C[x,y]上的因式仅为单因式的假设下,为求得系统的正规形,只需求有限个定义在齐次多项式空间上的李导数算子值域补空间,并给出递推公式.用该方法可求出一类具有广义Hopf奇点的正规形,并利用李三角形方法给出正规形与原微分方程系数之间的关系.

关键词: 退化非线性微分方程;正规形;保守耗散分解

中图分类号: O175.14

文献标志码: A

文章编号: 1673\|3851 (2017) 06\|0866\|08

0引言

在非线性微分方程(或向量场)孤立奇点的局部定性分析中,正规形方法是一个重要的分析工具.它的基本思想是寻找合适的近恒等变量变换,把所给的非线性微分方程在形式上尽可能的简化(即尽可能多地消去方程中的参数),以便最大程度地简化在其奇点邻域中的局部动力学分析[1].该方法已经广泛应用于一些应用学科[26].

在正规形理论中,首要的问题是如何计算给定的非线性微分方程的正规形.众所周知,给定一个非线性微分系统,要计算它的正规形十分困难,并且由于正规形一般是不唯一的,这导致计算正规形更加复杂[1].目前已找到一些计算线性化矩阵不是零矩阵的非线性微分方程正规形(非退化微分方程)的有效方法[3,711].直到本世纪初,由于受到应用学科中提出的非线性微分方程模型驱动,国内外数学工作者开始研究计算线性化矩阵为零矩阵的非线性微分方程(退化微分方程)正规形的方法,如:Algaba等[12]利用李括号方法建立了拟齐次共轭等价与轨道等价正规形理论的一般框架;Algaba等[13]利用李三角形方法给出了拟齐次共轭等价与轨道等价正规形的算法.如同经典正规形理论,用这种方法计算正规形,困难在于需要确定无穷多个定义在拟齐次向量场空间上同调算子值域的补空间,目前仅能计算一些特殊形式的退化微分方程的正规形.Algaba等[1417]利用这种方法计算了几类特殊平面退化微分方程正规形,并用来解决它们的解析可积性、中心与细焦点的判别以及逆积分因子存在性等问题.李梦晓等[1819]利用Carleman线性化方法计算了几类广义鞍结微分方程的正规形.

本文首先把非线性微分方程按齐次方式展开,给出主微分方程进行保守耗散分解,并给出这种分解的几个性质.然后利用这些性质,把求定义在齐次向量场空间上同调算子值域的补空间化为求定义在齐次多项式空间上李导数算子值域的补空间.一般而言,确定这样的无穷多个补空间是困难的.本文在主微分方程是哈密尔顿系统并且哈密尔顿函数在复多项式环C[x,y]上的分解式都是单因式的假设下,给出确定补空间的递推公式,从而只需计算有限多个这样的补空间.最后把这些结论应用到一类广义Hopf奇点情形,并利用Algaba等[13]中的李三角形方法确定正规形系数与原微分方程系数之间的关系,为这类非线性微分方程的进一步定性分析提供基础.

1二维微分方程的正规形

考虑微分方程

dxdt等于等于F(x)

等于Fr(x)+Fr+1(x)+…

等于∑∞j等于0Fr+j(x)(1)

或相应的向量场F(x),其中x等于x,yT∈R2,Fr(x)≠0,r∈N,Fr+j∈r+j,j∈N0.在本文中,N0表示包含数零的自然数集合,N表示正整数集合,C表示复数集合,j表示由j次齐次多项式构成的向量空间,j表示由j次齐次多项式向量场构成的向量空间.假设原点O(0,0)是(1)的孤立奇点.方程(1)的主微分方程为

等于Fr(x)(2)

在正规形的经典理论中,对于一个线性部分的系数矩阵A等于DF(0)为非零矩阵的微分方程(即对应于(1)中r等于1的情形),求其正规形的通常做法是:首先假设已经求得阶数小于或等于k-1的正规形,然后去求k阶的正规形[1].类似地,对于r>1的一般情形,假设已经求得阶数小于或等于r+k-2的正规形,为求方程(1)的r+k-1阶正规形,令近恒等变量变换

x等于y+Pk(y)(3)

其中y等于x1,y1T∈R2,Pk∈k,k≥1,则(1)变成

dydt等于等于G(y)

等于I+DPky-1∑∞j等于0Fr+jy+Pky(4)

可以证明(4)与(1)的前r+k-2次多项式向量场是相同的,记为r+k-2G等于r+k-2F,但Gr+k-1等于Fr+k-1-Pk,Fr,其中Pk,Fr等于DPk·Fr-DFr·Pk是向量场Pk与Fr的李括号,容易证明Pk,Fr∈r+k-1.引进仅依赖于Fr的同调线性算子:

Lr+k-1:k→r+k-1

PkLkPk等于Pk,Fr,

则Gr+k-1等于Fr+k-1-Lr+k-1Pk.记Lr+k-1值域为RangeLr+k-1,并取RangeLr+k-1在r+k-1的一个补空间为CorLr+k-1,于是有分解式Fr+k-1等于Frr+k-1+Fcr+k-1,其中Frr+k-1∈RangeLr+k-1,Fcr+k-1∈CorLr+k-1.虽然当取定CorLr+k-1后此分解式是唯一的,但由于RangeLr+k-1在r+k-1的一个补空间的取法一般不唯一,所以此分解式依赖于补空间CorLr+k-1的取法.类似于经典正规形理论的思想,对每个k≥2,为求得方程(1)的r+k-1阶共轭等价正规形,只需选取合适的Pk使得Lr+k-1Pk等于Frr+k-1,从而Gr+k-1等于Fcr+k-1,并且称方程(4)为方程(1)的r+k-1阶共轭等价正规形.从k等于2开始做变量变换(3)求得方程(1)的r+k-1阶共轭等价正规形,然后把变量y换回到原变量x,继续这个步骤就得到共轭等价正规形定理:

定理1微分方程(1)共轭等价于

等于G(y)等于∑∞j等于0Gr+jy(5)

其中Gr等于Fr,且Gr+j∈CorLr+j,j≥1.

注意到在求得共轭等价正规形定理1过程中,还可以先做时间变换以便求得改进型的拓扑等价(也称轨道等价)正规形定理:对k≥2,先令dtdT等于1+μk-1(x),其中μk-1∈k-1,则方程(1)变成

dxdT等于等于Fr(x)+Fr+1(x)+…+Fr+k-2(x)+

Fr+k-1(x)+μk-1(x)Fr(x)+…(6)

接下来令近恒等变量变换(3),则方程(1)变成

dydT等于等于G(y)

等于1+μk-1y+Pky·

I+DPky-1∑∞j等于0Fr+k-1y+Pky(7)

可以证明方程(7)与方程(6)的前r+k-2次多项式向量场是相同的,记为r+k-2G等于r+k-2F,但Gr+k-1等于Fr+k-1+μk-1Fr-Lr+k-1Pk.引进仅依赖于Fr的同调线性算子:

r+k-1:k×k-1→r+k-1

Pk,μk-1r+k-1Pk,μk-1等于[Pk,Fr]-μk-1Fr,

则Gr+k-1等于Fr+k-1-r+k-1Pk,μk-1.记r+k-1值域为Ranger+k-1,并取Ranger+k-1在r+k-1的一个补空间为Corr+k-1,于是Fr+k-1等于rr+k-1+cr+k-1,其中rr+k-1∈Ranger+k-1,cr+k-1∈Corr+k-1.对每个k≥2,为求得(1)的r+k-1阶轨道等价正规形,只需选取Pk,μk-1使得r+k-1Pk,μk-1等于rr+k-1,从而Gr+k-1等于cr+k-1,并且称方程(7)为方程(1)的r+k-1阶轨道等价正规形.从k等于2开始继续这个步骤,得到下面的轨道等价正规形定理:

定理2微分方程(1)轨道等价于

等于G(y)等于∑∞j等于0Gr+jy(8)

其中Gr等于Fr,且Gr+j∈Corr+j,j≥1.

为了简化这类正规形的计算,区分变量变换与时间变换对正规形的作用是重要的.为此引进下面的李导数算子:

k-1:k-r→k-1

μk-rk-1μk-r等于μk-r·Fr,

其中μk-r表示μk-r的梯度.取Rangek-1在k-1的一个补空间为Cork-1(当然这样的补空间的取法也是不唯一的),则可以证明下面命题成立:

引理1[12]Ranger+k-1等于RangeLr+k-1+Cork-1Fr,但这个和一般不是直和.

由引理1可知,在做时间变换的约化过程中,只需在Cork-1选μk-1(x)就可以了.因此可以修改上面的同调算子r+k-1如下:

r+k-1:k×Cork-1→r+k-1

Pk,νk-1r+k-1Pk,νk-1等于[Pk,Fr]-

νk-1Fr,

其中νk-1∈Cork-1.

通过上面的分析,为了从理论上计算方程(1)的轨道等价正规形(8),只需对每个j≥1,求r+j的线性子空间Corr+j的一组基,并且虽然Corr+j的取法不唯一,但它只依赖于(1)的主向量场Fr.然而对于给定的Fr,要给出Corr+j的一组基的规律性仍然是困难的.

为了给出Corr+j的一组有规律性的基,先把任一齐次向量场Fk,k≥r进行如下的耗散守恒分解:

引理2[12]若Fk等于Fk1(x,y),Fk2(x,y)T∈k,则成立

Fk等于Xhk+1+μk-1D0(9)

其中μk-1等于1k+1divFk∈k-1,hk+1等于1k+1D0∧Fk等于1k+1xFk2-yFk1∈k+1,D0等于x,yT,且Xhk+1等于-hk+1y,hk+1xT是以hk+1为哈密尔顿函数的哈密尔顿向量场.

记k等于μk-1D0μk-1∈k-1,Ck等于{Xgk+1gk+1∈k+1},则可以证明k与Ck分别是k的线性子空间,并且k等于Ck⊕k.

其次,对(1)的主向量场Fr做如下的重要假设:假设Fr是守恒的,即Fr等于Xhr+1,其中hr+1等于1k+1xFr2-yFr1∈r+1.关于这种分解有下面重要的性质:

引理3令μk-1∈k-1,gk+1∈k+1,则

a) [Xhr+1,Xgk+1]等于Xfr+k∈Cr+k-1,其中fr+k等于-gk+1·Xhr+1等于hr+1·Xgk+1.

b) μk-1Xhr+1等于Xr+k+r+k-2D0∈Cr+k-1⊕r+k-1,

其中r+k等于r+1r+kμk-1hr+1,r+k-2等于1r+kμk-1·Xhr+1.

c) [Xhr+1,μk-1D0]等于Xr2-1r+kμk-1hr+1+

-k+1r+kr+k-2μk-1D0∈Cr+k-1⊕r+k-1.

证明:

a) [Xhr+1,Xgk+1]等于DXhr+1·Xgk+1-DXgk+1·Xhr+1

等于-2hr+1yx-2hr+1y2

2hr+1x22hr+1xy

-gk+1y

gk+1x

-2gk+1yx-2gk+1y2

2gk+1x22gk+1xy

-hr+1y

hr+1x

等于2hr+1yxgk+1y-2hr+1y2gk+1x-2gk+1yxhr+1y+2gk+1y2hr+1x

-2hr+1x2gk+1y+2hr+1xygk+1x+2gk+1x2hr+1y-2gk+1xyhr+1x

等于-y-hr+1xgk+1y+hr+1ygk+1x

x-hr+1xgk+1y+hr+1ygk+1x等于Xfr+k,

其中fr+k等于-hr+1xgk+1y+hr+1ygk+1x等于-gk+1·Xhr+1等于hr+1·Xgk+1.

b)因为μk-1Xhr+1等于-μk-1hr+1y

μk-1hr+1x∈r+k-1,所以由引理2得

μk-1Xhr+1等于Xr+k+r+k-2D0∈Cr+k-1⊕r+k-1,

其中

r+k等于1r+kxμk-1hr+1x+yμk-1hr+1y

等于1r+kμk-1xhr+1x+yhr+1y.

因为hr+1∈r+1,所以由Euler定理得

xhr+1x+yhr+1y等于(r+1)hr+1,

于是r+k等于r+1r+kμk-1hr+1,

r+k-2等于1r+kdivμk-1Xhr+1

等于1r+kx-μk-1hr+1y+yμk-1hr+1x

等于1r+k-μk-1xhr+1y-μk-12hr+1yx+

μk-1yhr+1x+μk-12hr+1xy

等于1r+k-μk-1xhr+1y+μk-1yhr+1x

等于1r+kμk-1·Xhr+1.

c)因为对任意的可微函数f及可微向量场F与G,成立李括号恒等式

[fF,G]等于f·GF+f[F,G],

所以

[Xhr+1,μk-1D0]等于-[μk-1D0,Fr]

等于-μk-1·FrD0-μk-1[D0,Fr],

而由Euler定理得

[D0,Fr]等于DD0·Fr-DFr·D0

等于10

01Fr1

Fr2-Fr1xFr1y

Fr2xFr2yx

y

等于10

01Fr-xFr1x+yFr1y

xFr2x+yFr2y

等于Fr-rFr等于-(r-1)Fr,

所以由b)并注意到Xhr+1等于Fr得

μk-1[D0,Fr]等于-(r-1)μk-1Xhr+1

等于-(r-1)Xr+1r+kμk-1hr+1+1r+kμk-1·Xhr+1D0

等于-Xr2-1r+kμk-1hr+1-r-1r+kμk-1·Xhr+1D0,

于是

[Xhr+1,μk-1D0]等于Xr2-1r+kμk-1hr+1+

r-1r+kμk-1·Xhr+1D0-μk-1·FrD0

等于Xr2-1r+kμk-1hr+1+-k+1r+kμk-1·Xhr+1D0

等于Xr2-1r+kμk-1hr+1+-k+1r+kr+k-2μk-1D0.

证毕.

由引理3,我们可以对每个k≥r研究Cork的结构.首先注意到直和k等于Ck⊕k与直积Ck×k是同构的,因此为讨论方便在同构意义下可以等同k等于Ck⊕k,即对任意的Pk∈k,有表达式Pk等于Pck,Pdk∈Ck×k,其中Pck等于Xgk+1,Pdk等于μk-1D0.于是可以把算子r+k-1重新写成:

r+k-1:Ck×k×Cork-1→Cr+k-1×r+k-1

Pck,Pdk,νk-1r+k-1Pck,Pdk,νk-1,

其中

r+k-1Pck,Pdk,νk-1等于[Pck+Pdk,Fr]-νk-1Fr

等于[Xgk+1,Fr]+[μk-1D0,Fr]-νk-1Fr.

因为

[Xgk+1,Fr]等于[Xgk+1,Xhr+1]等于Xgk+1·Xhr+1等于Xr+k(gk+1),

[μk-1D0,Fr]等于-[Xhr+1,μk-1D0]

等于-Xr2-1r+kμk-1hr+1+

k+1r+kr+k-2μk-1D0,

νk-1Fr等于Xr+1r+kνk-1hr+1+1r+kνk-1·Xhr+1D0

等于Xr+1r+kνk-1hr+1+1r+kr+k-2(νk-1)D0,

所以

r+k-1Pck,Pdk,νk-1等于Xξr+k,ηr+k-2D0,

其中

ξr+k等于r+k(gk+1)-r2-1r+kμk-1hr+1-

r+1r+kνk-1hr+1∈r+k,

ηr+k-2等于k+1r+kr+k-2μk-1-

1r+kr+k-2(νk-1)∈r+k-2.

由μk-1与νk-1的任意性知,

Ranger+k-1

r+k-1等于Ranger+k-2D0,

所以若取Ranger+k-2在r+k-2中的一个补空间Corr+k-2,则

Corr+k-1

r+k-1等于Corr+k-2D0.

为讨论Ranger+k-1

Cr+k-1与Corr+k-1

Cr+k-1,再定义算子

δr+k:k-1→r+k

μk-1δr+kμk-1等于μk-1hr+1,

则Ranger+k-1

Cr+k-1等于XRange(r+k)+Range(δr+k).若取Range(r+k)+Range(δr+k)在r+k中的一个补空间Range(r+k)+Range(δr+k)c,则

CorLr+k-1

Cr+k-1等于XRange(r+k)+Range(δr+k)c,

从而由于k等于Ck⊕k是直和得

Corr+k-1等于CorLr+k-1

r+k-1⊕Corr+k-1

Cr+k-1

等于Corr+k-2D0⊕XRange(r+k)+Range(δr+k)C.

由于补空间取法一般是不唯一的,因此一般地

Range(r+k)+Range(δr+k)c等于Range(r+k)c∩Range(δr+k)c

是不成立的.但我们可以这样来取Range(lr+k)+Range(δr+k)在r+k中的一个补空间:

设dim(Range(r+k)∩Range(δr+k))等于m,dim(Range(r+k))

等于s,dimRange(δr+k)等于t,并取Range(r+k)∩Range(δr+k)的一组基为α1,…,αm,若m等于0,但下面的讨论仍能进行.由α1,α2,…,αm可扩充为Range(r+k)的一组基:α1,…,αm,βm+1,…,βs;同样地可扩充为Range(δr+k)的一组基:α1,…,αm,γm+1,…,γt;并且容易证明

α1,…,αm,βm+1,…,βs,γm+1,…,γt,

是线性无关的;最后由α1,…,αm,βm+1,…,βs,γm+1,…,γt扩充为r+k的一组基:

α1,…,αm,βm+1,…,βs,γm+1,…,γt,λs+t-m+1,…,λr+k+1.

现可取

Cor(r+k)等于spanγm+1,…,γt,λs+t-m+1,…,λr+k+1,

Cor(δr+k)等于spanβm+1,…,βs,λs+t-m+1,…,λr+k+1,

spanλs+t-m+1,…,λr+k+1等于Cor(r+k)∩Cor(δr+k)

可以作为Range(r+k)+Range(δr+k)在r+k中的一个补空间,当然这样的补空间的取法是不唯一的.

通过上面的分析,得到下面的结论:

命题1r+j-1的值域Range(r+j-1)的一个补空间可以取为

Corr+k-1等于XCor(r+k)∩Cor(δr+k)⊕Corr+k-2D0.

由命题1及定理2,我们得到:

定理3若Fr等于Xhr+1,则微分方程(1)轨道等价于

等于Xhr+1+XH+νD0(10)

其中:H∈⊕∞j等于1Cor(r+j)∩Cor(δr+j),ν∈⊕∞j等于1Cor

r+j-2.

如果进一步假设hr+1∈r+1在复多项式环C[x,y]中的因式分解仅有单因式,则成立:

命题2假设微分方程(1)的主向量场Fr等于Xhr+1∈r,hr+1∈r+1在复多项式环C[x,y]中的因式分解仅有单因式,并且k≥1,则

a)Cor(r+k)等于hr+1Cor(k-1);

b)Corr+k-1等于Corr+k-2D0.

证明:a)因为hr+1∈r+1在复多项式环C[x,y]中的因式分解仅有单因式,所以如果U(x,y)∈k是等于Fr(x)等于Xhr+1的首次积分,则存在s∈N且γ∈R使得

U(x,y)等于γhr+1(x,y)s,

即k等于s(r+1).假设(1)有一个解析(或形式的)首次积分,则V(x,y)等于hr+1(x,y)+…是(1)的一个首次积分,其中…表示高次齐次项.对任意的k∈N,如果k等于s1(r+1)+s0,其中0≤s0<r,则

Ker(r+k)等于spanhs1r+1,s0等于0

0,s0≠0,

对任意的k≥2,如果r+k-2μk-1∈Rangeδr+k-2,则μk-1∈Rangeδk-1;又对任意的k>r,成立dimCork+r等于dimCork-1,所以对任意的k>r,并且取一个补空间Corlk-1,则δr+kCorlk-1可以取为lr+k的一个补空间,即

Corr+k等于δr+kCork-1等于hr+1Cork-1.

b)对任意的λr+k∈Cor(r+k)∩Cor(δr+k),则λr+k∈Cor(lr+k)且λr+k∈Cor(δr+k).由λr+k∈Cor(lr+k)知,存在λk-1∈k-1使得λr+k等于hr+1λk-1,从而λr+k∈Range(δr+k).但

Range(δr+k)∩Cor(δr+k)等于{0},所以λr+k等于0,所以Cor(r+k)∩Cor(δr+k)等于{0},即

Corr+k-1等于XCor(r+k)∩Cor(δr+k)⊕Corr+k-2D0

等于Corr+k-2D0.

证毕.

由命题2 a)可知:对任意的k≥2,为求Cor(lr+k),只需求

Cor(r),Cor(r+1),…,Cor(r+r)等于Cor(2r)

即可.实际上,对任意的k∈N,如果k等于s1(r+1)+s0,其中0≤s0<r,则

Cor(r+k)等于hr+1s1Cor(r+s0).

定理4假设微分方程(1)满足命题2的假设,则微分方程(1)轨道等价于

等于Xhr+1+∑∞i等于0∑2rj等于rη(i)jhr+1iD0(11)

其中η(i)j∈Cor(j),j等于r,r+1,…,2r.

2广义Hopf奇点的正规形

现在利用上节中的有关结果计算二维退化非线性微分方程

等于y2

-x2+

a30x3+a21x2y+a12xy2+a03y3

b30x3+b21x2y+b12xy2+b03y3+…(12)

的正规形.(12)的奇点O通常称为广义Hopf奇点.

因为F2(x,y)等于y2,-x2T等于Xh3,其中h3(x,y)等于-13x3+y3在复多项式环C[x,y]中的因式分解仅有单因式,所以(12)满足定理4的条件.

因为r等于2,并且

1等于spanx,y,

2等于spanx2,xy,y2,

3等于spanx3,x2y,xy2,y3,

4等于spanx4,x3y,x2y2,xy3,y4.

对k等于1,

2:1→2

μ12μ1等于μ1·F2,

令μ1等于d10x+d01y∈1,则

μ1等于d10,d01T,μ1·F2等于d10y2-d01x2,

所以Range2等于spanx2,y2,于是可取Cor2

等于spanxy.

对k等于2,

3:2→3

μ23μ2等于μ2·F2,

令μ2等于d20x2+d11xy+d02y2∈2,则

μ2等于2d20x+d11y,d11x+2d02yT,

μ2·F2等于-d11x3-2d02x2y+2d20xy2+d11y3

等于d113h3+2y3-2d02x2y+2d20xy2,

所以Range3等于span3h3+2y3,x2y,xy2,于是可取Cor3等于spany3.

对k等于3,

4:3→4

μ34μ3等于μ3·F2,

令μ3等于d30x3+d21x2y+d12xy2+d03y3∈3,则

μ3等于(3d30x2+2d21xy+d12y2,d21x2+2d12xy+3d03y2)T,

μ3·F2等于(3d30-3d03)x2y2+3d21(xy3+xh3)+3d12(y4+2yh3),

所以Range4等于span{x2y2,xy3+xh3,y4+2yh3},于是可取Cor2等于spanxy3,y4.

对k等于4,

5:4→5

μ45μ4等于μ4·F2,

令μ4等于d40x4+d31x3y+d22x2y2+d13xy3+d04y4∈4,则

μ4等于(4d40x3+3d31x2y+2d22xy2+d13y3,d31x3+2d22x2y+3d13xy2+4d04y3)T,

μ4·F2等于-4d40(3y2h3+y5)+d31(4x2y3+3x2h3)+2d22(2xy4+3xyh3)

+d13(4y5+9y2h3)-4d04x2y3,

所以Range5等于span{3y2h3+y5,4x2y3+3x2h3,2xy4+3xyh3,4y5+9y2h3,x2y3},于是可取Cor2等于spanxy4.

由定理3可得系统(12)通过耗散变换,与下面系统是轨道等价:

等于y2

-x2+b2x2y

xy2+b3xy3

y4+

b14x2y3

xy4+b24xy4

y5+…

等于G2x+G3x+G4x+…(13)

如果令

F3x等于a30x3+a21x2y+a12xy2+a03y3

b30x3+b21x2y+b12xy2+b03y3,

则利用Lie三角形算法得到下面关系式:

b2等于12a21+b12,

b3等于-2a04-34a12b12+34a12a21+3Ca21-6Cb03-

94a032+94a03b21+154a03a30+

32b03b12+32b03a21-449a40-13272a30a12-66072a30b30-39672a30b30-13218Ca21

-b31-34b31a12+94b30a30-32b30b12-94b21b30-3Cb12+3Ca21+32b03a30-34b30a03

-2b04-34b122+34a21b12+3Cb12+94b03a03+34b03b21+274b03a30-13b13-14b21b12

+14b21a21+Cb21+12a30b12-b032+Ca03+12a12b03-23b40-54b21a12-54b302

-54b30b03-Cb21+2Ca30+49a22+518a30b12-53a30a21-2Ca30-16a122-16a12b30+16a12b21+2Ca03+2Cb21-13b12b21,

其中:C为任意常数.用同样的方法可以求得正规形中更高次项的系数与原微分方程的系数之间的关系,但这些公式过于复杂,在此不再给出.于是,可得系统(4)的正规形为

等于y2

-x2+12a21+b12x2y

12a21+b12xy2+….

3结语

正规形理论在非线性微分方程的定性研究中具有重要的意义.本文给出了二维退化非线性微分方程正规形的共轭等价正规形定理与轨道等价正规形定理.对于一般的退化非线性微分方程,要根据正规形定理计算它的正规形十分困难,需要确定无穷多个李导数算子值域的补空间.但当非线性微分方程的主微分方程是哈密尔顿的并且其哈密尔顿函数在复多项式环C[x,y]上的因式仅为单因式时,只需确定有限多个这样的补空间.本文利用这些结果计算出下面特殊形式退化非线性微分方程

等于y2

-x2+

a30x3+a21x2y+a12xy2+a03y3

b30x3+b21x2y+b12xy2+b03y3+…

的正规形,并给出正规形与原微分方程的低次项系数之间的关系,为这类非线性微分方程的进一步定性分析提供基础.这种方法在物理学、生物学、天文学等应用学科中具有广泛的应用前景.

当非线性微分方程的主微分方程不是哈密尔顿的,或者即使主微分方程是哈密尔顿的但其哈密尔顿函数在复多项式环C[x,y]上的因式有重因式时,如何有效地计算其正规形有待继续研究.

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Computation of Normal Forms for a Class of Degenerate

Nonlinear Differential Equations

ZHANG Jing, HUANG Tusen

(School of Sciences, Zhejiang Sci\|Tech University, Hangzhou 310018, China)

Abstract: For degenerate nonlinear differential equations, the conservativedissipative splitting is given, and some properties of this splitting are proved. By using these properties, a complementary subspace to the range of the homological operator defined on the homogeneous vector field space can be expressed in terms of a complementary subspace to the range of the Lie derivative operator defined on the homogeneous polynomial space. Under the hypotheses that the leading part of the degenerate nonlinear differential equations is Hamiltonian and the associated Hamiltonian function only has simple factors in its factorization on the complex polynomial ring C[x,y], to obtain the normal form, it needs only to compute a certain number of the complementary subspaces to the range of the Lie derivative operators defined on the homogeneous polynomial spaces, a recursive formulae of the computation for all the complementary subspaces are given. Finally, by using this method the normal form of a class of the generalized Hopf singularity is computed, relationship between the coefficients of the normal form and the origin equations is given by means of the Lie triangle method.

Key words: degenerate nonlinear differential equation; normal form; conservativedissipative splitting

(责任编辑: 康锋)

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