二阶三阶变系数线性微分方程可降阶求解的一个充要条件,该文是关于微分方程相关论文范文文献和微分方程和充要条件和系数方面毕业论文的格式范文.
微分方程论文参考文献：
［摘 要］给出二阶三阶变系数线性微分方程可解一个充要条件,参照一阶线性微分方程常数变异解法给出二阶三阶变系数线性微分方程的一个通解公式并加以应用.
［关键词］变系数线性微分方程；充要条件；通解
［中图分类号］O175［文献标志码］A［文章编号］2096-0603（2017）10-0168-02
力学、电学及其他工程技术中一个重要的解析工具是常系数线性微分方程,而在系数激励振动、波导传输理论以及许多其他的实际应用问题中还经常会用到变系数线性微分方程,其解的研究将对有关问题的分析和应用大有帮助.实际上,变系数线性微分方程的求解困难重重,本文针对二阶、三阶变系数线性微分方程,给出其可降阶求解的一个充要条件并进行了相关的应用.
一、预备知识
引理1：一阶线性微分方程y′+P（x）y等于Q（x）,其中P（x）,Q（x）是关于x的连续函数,其通解为,其中C∈R.
证明：由常数变易法可以证明其结论成立,证明过程略.
定义1：若P（x）,Q（x）,f（x）是关于x的连续函数,则称方程
y″+P（x）y′+Q（x）等于f（x）（1）
为二阶变系数线性微分方程,若f（x）等于0,则称方程
y″+P（x）y′+Q（x）等于0（2）
为二阶变系数齐次线性微分方程.
定义2：若a1（x）,a2（x）,a3（x）,f（x）是关于x的连续函数,则称方程
y″′+a1（x）y″+a2（x）y′+a3（x）y等于f（x）（3）
为三阶变系数线性微分方程,若f（x）≡0,则称方程
y″′+a1（x）y″+a2（x）y′+a3（x）y等于0（4）
为三阶变系数齐次线性微分方程.
二、主要结论
定理1：方程（1）可降价求解的充要条件是存在函数u（x）,v（x）（其中u（x）,v（x）,u′（x）∈C）,使得方程（1）中的系数P（x）,Q（x）满足以下关系P（x）等于u（x）+v（x）,Q（x）等于u′（x）+u（x）v（x）.
证明：先证充分性
将P（x）等于u（x）+v（x）,Q（x）等于u′（x）+u（x）v（x）,代入方程（1）整理可得［y′+u（x）y］′+v（x）［y′+u（x）y］等于f（x）
令y′+u（x）y等于z,则上式转化为z′+v（x）z等于f（x）,由引理1可得其解,将解代入y′+u（x）y等于z,再次利用引理1即可求得方程（1）的解.
再证必要性
在前人研究的基础上,本文给出二阶三阶变系数线性微分方程可降阶求解的一个充要条件并推导出相应的通解公式,使微分方程的求解更方便、更快捷.更高阶的变系数线性微分方程的可降阶求解条件问题将在后续研究中讨论.
参考文献：
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