从《数学原则》到《数学原理》的命题逻辑,本文是关于数学类论文范文文献跟《数学原理》和《数学原则》和命题逻辑类论文写作资料范文.
数学论文参考文献：
伯纳德·林斯基著 陈磊,王秀娟译
[摘 要]《数学原理》（Principia Mathematica）是罗素和怀特海的著作,也是早期分析哲学的基石,它的公理系统与《数学原则》（Principles of Mathematics）的公理系统不同.通过研究罗素如何在《数学原理》中找到证明方法的过程,可以发现经典命题逻辑公理形式化证明的一般方法.《数学原理》改变了《数学原则》中的初始命题,带来了新的证明,一些定理和引理随着论题的发展而被删除了,但《数学原则》中尽量多的结果还是被保留下来.《数学原理》中的命题逻辑系统是一个逐步演化的结果.
[关键词]《数学原则》；《数学原理》；《蕴含理论》；皮亚诺,皮尔士
[作者简介]伯纳德·林斯基,加拿大阿尔伯特大学哲学系教授,加拿大埃德蒙顿；陈磊,北京师范大学哲学学院副教授；王秀娟,北京师范大学哲学学院硕士研究生,北京100875
[中图分类号]#B81 [文献标识码]A [文章编号]1004- 4434(2017)03- 0032 -09
一、引言
人们有时会说,尽管罗素和怀特海（1910）的《数学原理》（Principia Mathematica, 下文简写为PM）是早期分析哲学的奠基性著作之一,但它很少被阅读甚至被认为是“难以读懂的”①.除了PM第14章中定性的讨论之外,当代哲学家已经不会再去研究PM了.其部分原因既在于其过时的观点,也在于它已经被逻辑学的后续进展所取代.当代逻辑学家可能把关于命题逻辑的前几章（2-5章）看作是从公理中毫无目的地选择出来的近两百条基本定理的堆砌.PM第一卷于1910年出版之后,亨利·谢费（Henry Sheffer,1913）和珍·尼可德（JeanNicod,1917）已经表明,命题逻辑可以由一个连接词（“谢费竖”）和使用这个连接词的公理进行形式化②.尼可德和谢费是罗素的学生,他们的成就主要反映在1925年的PM第二版《导言》里,《导言》给人的印象是：罗素早期曾经否定过PM中的初等逻辑系统.到了20世纪20年代中期,人们已经知道如何使用真值表证明命题逻辑的任意一个公理系统在语义上是完全的③.研究早期分析哲学的学者们发现,维特根斯坦在《逻辑哲学论》中最先提出：命题逻辑的公理形式是不必要的.而且,重言式的概念可以取代定理的概念成为逻辑真的解释.因此,在PM出版时,其中的命题逻辑就被认为已经过时并且与哲学几乎无关.然而,探寻PM在皮亚诺逻辑和罗素早期研究的踪迹,将帮助我们理解PM之后的逻辑学中许多看似困惑的特征.罗素于1900年在巴黎数学大会听到朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）和他学生的报告,他把这个报告描述为在“我理智生命的最重要一年中的最重要的事件”（罗素,1944）.正是这次与新符号逻辑的邂逅,使得罗素几乎重写了《数学原则》（Princi-ples of Mathematics,下文简写为PoM）（罗素,1993）.皮亚诺对罗素的数学基础研究最重要的影响是引导罗素发展了关系的逻辑,进而采用“弗雷格-罗素”法将数定义为等势类的类（罗素,1901）.罗素需要根据数的逻辑观念找到数学观念的定义,然后仅从逻辑的角度证明它们.他获得灵感将皮亚诺符号逻辑模型衍生出来的逻辑进行形式化.罗素不仅从皮亚诺逻辑中学到了符号论的元素,比如,用人们熟悉的“马蹄铁型”
表示实质蕴含,用圆点表示标点符号,如何表示关系符号；而且,他还学到了许多公理和定理,并将它们重纳入了PM中.下面我们要说明,PM的前几章内容是对皮亚诺最初观点的缓慢而艰辛的发展,这样的发展不仅产生了对逻辑学家重建数学工作至关重要的类和关系的逻辑,而且慢慢地产生了贯穿整个PM的初等命题逻辑和量词逻辑.我们将通过研究PM前几章中没被证明的一个定理来阐述这个发展.
“皮尔士定律”是初等命题逻辑中的一个有效公式①：
尽管这个“定律”是PoM（罗素1903）中的一条公理并且罗素在他的论文《蕴含理论》（Theory ofImplication,下文简写为TI）（罗素,1906）中也给出了证明,但它并不是PM中的定理.虽然“皮尔士定律”在PM中没有被证明,但在TI中证明它的两个引理均在PM中,即定理2.43和定理2.69.皮尔士定律,作为紧接下来的定理2.7,可能已经同样被证明了.因此,作为定理2.7的皮尔士定律似乎确实曾经存在于PM早期的草稿中,但是后来被删掉了,因为怀特海和罗素裁减了后续研究中不需要的定理.通过早期命题逻辑的公式化来追溯这个消失的定理的历史,有助于我们解释PM中命题逻辑的表述特点,这些特点在当代逻辑学家看来似乎是不同寻常的.这个系统的许多方面———从初始联接词的选择到公理的选择,再到最终证明哪些定理———都没有解释.令人惊讶的是,PM中的五条公理都是用‘V’（‘....或....’）和
（‘实质蕴含：如果.....那么.....’）来进行陈述的.而PM中的初始连接词是~（‘否定’）和‘∨’,
在PM的命题1.01中被定义为~p∨q,蕴含号是一个被定义的联接词.这个系统的另一个特别之处出现在符号逻辑系统的下一个定理———第一“初始命题”或公理：一个真的基本命题所蕴含的任意结论都是真的.这一定理在本著作的余下部分被用作演绎推理的推理规则.尽管被称为“初始的命题”或定理,但是它是用文字而不是用PM中的其他符号来陈述的.那么,我们怎样能够解释PM前几部分中被证明的那些特殊定理是如何选取出来的呢？没有任何线索能够暗示这些证明是怎样被发现的或者其他定理的证明是如何被想出来的.这些公理似乎是随意排列的,尤其是当人们发现这些公理中的一个是多余的时候.怀特海和罗素当初是怎样提出这些“初始命题”的呢？
对PoM、TI和PM三个命题逻辑的历史研究表明,罗素关于初等逻辑的观点是逐步发展而来的.罗素在皮亚诺的命题逻辑基础上证明了多个定理,他修改系统甚至更改初始的联接词时保留了一些证明.这种方法需要注意命题逻辑中的证明细节,近些年来,也仅有相关的逻辑学家利用这种方法在不同系统中寻找证明特殊结论所需要的确切公理②.所以,保留曾经发现的证明是一个切实可行的方法, 而不是再一次从连接词和公理的选择开始.在写作PM的时候,怀特海和罗素只保留了那些在后来的包含量词推演证明中实际使用到的来之不易的证明③.
作为对PoM系统的考察,TI回溯了皮亚士定律的历史, 这有助于我们呈现PM和PoM之间的命题逻辑变化上这样和那样的特点.
二、《数学原则》（Principles of Mathe-matics）
第14节“命题演算”一开始就明确说明,这部分的逻辑处理命题间的蕴含关系.
§14.命题逻辑的特点是,所有命题都是作为实质蕴含的假设和推论.通常地,假设具有诸如“p蕴含q”此类的形式,在（§16）中,这种形式的假设等同于论断：出现在推论中的字母是命题.因此,推论由对所有命题均为真的命题函数组成.
蕴含的初始概念有两种,一种是命题之间的关系———实质蕴含, 另一种是命题函数之间的关系———形式蕴含①.第15节：我们的演算研究命题之间的蕴含关系.这个关系必须与形式蕴含关系区分开来.当一个命题函数对于所有的赋值来说都能蕴含另一个命题函数的时候,形式蕴含关系成立.形式蕴含也包含在我们的演算中,但并没有得到明确的研究：我们一般不研究命题函数,仅研究出现在我们命题演算中的确定的命题函数.
第15节：我们的演算研究命题之间的蕴含关系.这个关系必须与形式蕴含关系区分开来.当一个命题函数对于所有的赋值来说都能蕴含另一个命题函数的时候,形式蕴含关系成立.形式蕴含也包含在我们的演算中,但并没有得到明确的研究：我们一般不研究命题函数,仅研究出现在我们命题演算中的确定的命题函数.
在写PoM时,罗素只想建立一个命题的通用逻辑,能够处理与特殊命题函数相关的逻辑命题.
第16节包括：人们可能观察到,尽管蕴含是不能定义的,但命题可以被定义.每个命题蕴含它自己,并且无论什么命题都不能蕴含空集.因此“p是一个命题”等于说“p蕴含p”,这个等价条件可以用来定义命题.
罗素用实质蕴含的概念定义了他称之为“两个命题的逻辑积”的合取.
p和q的积被写为pq,一个写在另一个的后面.因为使用“.”更方便标识合取的辖域,后来在PM中就使用了p.q.如果p蕴含p,那么,如果q蕴含q,pq,（p和q的逻辑积）意味着,如果p蕴含了q蕴含r,那么r是真的.
因此,看清了PoM系统中的较早表述,就可以更好地理解PM中的两个奇怪的想法.PM中关于已定义的联接词（‘.’）的初始命题的表述就是其中之一.如果命题逻辑中的所有命题都陈述了蕴含式,其中蕴含式的前提和结论都是蕴含式,那么就意味着逻辑研究的是蕴含式,其他联接词可以用蕴含式来理解④.然而,罗素改变了他在PI和PM中关于逻辑的初始概念的想法,他在PoM中的原初观点可以解释他为什么尽可能长久地坚持在初始命题中使用.蕴含是逻辑中唯一初始符号这一点也有助于我们理解PM中的另一个奇怪之点,即罗素不愿意符号化地表达初始命题1.1,而是用一句话来表达.
他在PoM的命题4中提到了前提规则：这是一个无法用形式符号陈述的规则,这也体现了形式主义的根本限制———我将在下一阶段继续讨论这个问题.
让罗素关切的“形式主义的限制”是一个很复杂的事情.部分原因是,他的符号主义不允许他在表达系统中推演规则和命题的差异.罗素在“下一阶段”对这个问题的讨论包含：路易斯·卡罗尔的谜语“乌龟对阿基里斯说了什么”揭示了这个原则的独立性.我们所接受的推理原则推出的命题是：
如果p和q是命题,那么命题p,以及“p蕴含q”能够推出q.乍一看,它是说从假设p是真的并且蕴含q,我们能够得出q.但是卡罗尔的问题表明了情况并不是这样的,在我们没有某些原则之前,我们只能倒退回无休止的越来越复杂的蕴含式中,得不到断言q.所以,我们需要“因此”的概念, 它能够把两个不同的本体连接起来,它不同于“蕴含”.罗素认为《乌龟对阿基里斯说了什么》（卡罗尔1895）的观点是,一个逻辑系统不能单独由公理组成,这会导致一种无限的倒退.因为如果把推演规则作为公理来陈述的话,仍然需要一个规则来使用那些公理.然而,推演规则和定理的差异似乎并没有超越符号表达的能力范围.罗素本人提到,使用弗雷格的“断定号”（‘├’）,和从根岑（Gentzen）那里继承下来的推演规则的形式化, 我们可以很容易地将推演规则表达如下：
此处,罗素指出了第4条初始命题的另一方面.第4条初始命题也表明,“它不能被形式的符号所陈述”,它系统表达了运用于“假设”的推演规则,其中假设应该是一个不被当作定理证明的命题.在一个逻辑的自然演演绎形式中,我们可以为了进一步的论证而假设一个命题,例如,通过反证法证明一个假设是错的.证明理论的符号化可以将蕴含关系延伸为演绎关系———假设集Г和假设的结论p之间的关系.它可以符号化为Г├p.这样,初始定理就变成：
上述形式表达了如下见解：要“证明”一个命题,可以通过显示该命题被一个“真”命题所蕴含来“证明”这个命题.在PM以及这个初始命题的陈述中,我们必须区分“真命题”和“定理”.然而,“符号主义”的失败仅仅是罗素的符号主义的失败,因为在逻辑史后来的发展中,两个更进一步的观点使我们可以用符号来表达罗素的初始命题.
我们看到,初始命题４也是PoM中命题逻辑系统和非形式化量词逻辑系统的量词规则.用一种形式化同时表达命题４的这三个功能, 是可能的,然而这需要符号化的三个进展,而罗素在写作PM时并不认同这些进展,他错误地认为,它们是不可能形式化的.PoM中的第十个初始命题即著名的“皮尔士定律”,因为是皮尔士于1885年第一次把它作为命题逻辑的公理提出的.然而,罗素并没有提及皮尔士,而是对最后一条公理作如下描述：……它不像前面的原则那样不证自明,但是它等于许多不证自明的命题……这个原则在含有否定的合取式中特别有用.如果没有它,仅仅依靠前九条,我们能证明矛盾律；我们可以证明,如果ｐ和ｑ是命题,ｐ蕴含非非ｐ．．．．．．但是,不使用约减律或某个等价条件我们不能证明（至少目前我已经发现的）ｐ或非ｐ其一必真（排中律）；总有命题等价于一些其他命题的否定；非非ｐ蕴含ｐ或“ｐ蕴含ｑ”蕴含“ｑ或非ｐ”.每一个这样的假设都等价于约减律,如果我们可以选择,这些假设可以替代约减律.
在包括已经定义的~、∨和一个命题常量┴、“永假”的扩展性语言中,我们很容易看到排中律是如何通过约减律而得到证明的.在这个逻辑语言中,下式是约减律的一个具体代入：
在逻辑上,这等价于~p∨p,或者,被定义为：
这个原则并不是直观有效的或者不在具有否定弱原则的其他系统中,因为它从假设p是荒谬的出发,经过一定的推理,看起来验证了p的一个非直接证明的有效性.用PoM中的定义,它可以表达为：
约减律可能错误地被看作（逻辑等价于）这个原则的一个实例①.然而,约减律可能需要作为一个初始命题去证明这些结果,因为所有的初始命题都是用命题的实质蕴含或形式蕴含来表达的.依然令人惊奇的是,为了使得系统能够充分证明包含否定的命题逻辑的原则,它是唯一需要的公理.然而,很明显,一旦LEM和双重否定能够像上述一样被证明,PoM的十个初始命题就形成了命题逻辑的一个完备的公理集.
三、蕴含理论（Theory of Implication）
1906年,罗素发表了命题逻辑的另一个不同的公式化,它嵌套在量化逻辑理论中.这个理论可以使用“置换理论”来表达.当时,罗素正在发展这种“置换理论”.那个时候,命题和个体在量词的论域内还是平等的,而不是作为形式蕴含的下标.除了明确的量化,其他的初始命题仍是关于实质蕴含劢和否定~.罗素说,他建议把否定作为一个初始的命题（罗素1906,60）：像在*1中做的那样,不把否定作为一个初始的观念,而有可能把*7.22所陈述的性质作为否定的给定定义,即,我们可以这样表述：
尽管现在约减原则可以被证明是定理,但是,要把否定作为一个初始观念加以接纳,需要增加三条明确与否定相关的公理.下述文字解释了用一个新的初始“观念”和三条新公理来替代之前命题的代价：
我不采纳这个方法并不是因为它的随意性或它要面对的困难,而是因为事实上它从没有使我们知道任何为假的东西到底是什么.使用上述方法,我们可以证明能被证明为真的真,它并不能让我们把事实上为假的东西证明为真.考虑到所有可以通过上述方法而证明为假的命题,它甚至能够让我们证明,如果它们是真的,那么,一切就是真的；但是,如果有人轻信一切都是真的,那么,这个被讨论中的方法无力反驳他.例如,矛盾律的形式表述为：
这个系统是TI系统的改进,这一点可以从PM的前几个定理中清楚地看出来.这些定理实际上就是TI的初始定理（Abs,Simp,Transp,Comm,Syll）.剩下的两个很快就会被证明（*2.08ID和*2.14Neg）.因此,怀特海和罗素证明了用这个更简短的初始命题列表可以证明同样的定理.然而,仍然有一些相同的证明在初始命题之前以引理的形式被平移到PM中.
这种情形最显著的例子是约减律,在其中,引理得到了证明,而定理却未获证明.TI中的两个引理再次作为定理出现：[TI]*3.47是现在的*2.43,[TI]*3.5是现在的*2.69,就像*2.7,TI中完全相同的两步证明能够得出约减律的结果.
但是,在PM中并没有*2.7.*2.69之后是另一串以*2.73开始的引理.似乎最大的可能性是,罗素和怀特海已经证明了约减律,以及PoM中的其他初始命题,就像罗素已经在TI中做过的那样,但是,我们发现,它们后来再也没有被用到.因此,定理就被从草稿中删除了,目的在于减少那些后续要用到的定理.另一方面,约减律的两条引理陈述了“约减”以及由实质蕴含定义的析取,它们具有可交换的性质,它们是TI中的定理,有充分独立的理由被保留下来.很明显,罗素和怀特海试图尽量多地保留TI中的证明,并因此在PM的前面部分证明TI的初始命题和许多定理.他们只是在后来才发现,这些定理可以被删除③.仔细考察PM中证明并与TI中的证明进行比较,我们不难发现PM的许多改进之处.
TI中的证明,在很多可能的情况下被保留下来了,并且设计了新的证明如何从已有的证明中得到.约减律尽管是PoM中的公理,但后来在TI中并没有被用到.它得意被保留的原因与TI中的情形一样：公理的证明尽管后来再没有用到,却被保留到PM中.仔细研究PM中的命题逻辑,可能会得到其他的结果.几乎没有逻辑学家能够通过研读PM的前几章而找到命题逻辑公理形式化的证明方法④.研究罗素和怀特海如何在PM中找到证明方法的过程,可以发现经典命题逻辑公理形式化证明的一般方法.
PM的前几章应该被视为各种尝试的累积结果.这个尝试起始于皮亚诺的寻找初始概念和命题的工作,这个工作使得建立在数学基础之上的定理都可以得到证明.随着初始命题的改变,人们有可能设计新的证明.但非常清楚的是,希望尽可能多的先前劳作结果被保留下来.一些定理和引理随着论题的发展而被删除了.
PM中的命题逻辑与其说是从独一无二的初始概念、规则和公理的选择中建立起来的,不如说是一个进化的结果.
（感谢阿尔伯特大学逻辑读书组的成员以及项目组成员艾伦·黑森、杰夫·佩尔蒂埃、安德鲁·特德和哈桑·马苏德各方面的帮助.尼古拉斯·格里芬在伯特兰·罗素档案馆指点我找到“使用的定理列表”文件.）
[参考文献]
[1] Anderson, A.R., & Belnap, N. Entailment: The logic ofrelevance and necessity（Vol. 1）[M]. Princeton: PrincetonUniversity Press,1975.
[2] Bernays, P.Axiomatische Untersuchung des Aussagen -Kalkuls der Principia Mathematica [ J ].MathematischeZeitschrift,1926（25）.
[3] Byrd, M. Russell Logici, and the Choice of LogicalConstants [ J ].Notre Dame Journal of Formal Logic,1989,30（3）.
[4] Carroll, L.What the tortoise said to Achilles[ J ].Mind,1895（4）.
[5] Griffin, N., & Linsky, B. The Palgre Centenary Com-panion to Principia Mathematica. Houndmills [ M ]. Bas-ingstoke: Palgre Macmillan,2013.
[6] Hughes, G. E., &Londey, D. G. The elements of formallogic[M]. London: Methuen,1965.
[7] Landini, Gregory. Logic in Russell´s principles of mathe-matics [ J ].Notre Dame Journal of Formal Logic,1996,37（4）.
[8] Linsky, Bernard The Evolution of Principia Mathematica[M]. Cambridge: Cambridge University Press,2011.
[9] Newell, A., Shaw J. C., &Simon N. Empirical explorationswith the logic theory machine: A case study in heuristics[ A ]. E. A. Feigenbaum & J. Feldman, (Eds.). Computersand thought [C].New York: McGraw-Hill,1963.
[10] Nicod, Jean. A reduction in the number of the primitiveproposition of logic [ J ]. Proceedings of the CambridgePhilosophical Society,1917（19）.
[11] Peirce, C. S. On the algebra of logic: A contribution tothe philosophy of notation[ J ].American Journal of Math-ematics,1885（7）.
[12] Restall, G. An introduction to substructural logics [ M ].London: Routledge,2000.
[13] Russell, B. A. The logic of relations with some applica-tions to the theory of series[ A ]. G. H. Moore (Ed.). Thecollected papers of Bertrand Russell [ C ]. London: Rout-ledge,1901.
[14] Russell, B. A. The principles of mathematics [M].Cam-bridge: Cambridge University Press,1903.
[15] Russell, B. A. The theory of implication [ J ].AmericanJournal of Mathematics,1906（28）.
[16] Russell, B. A. Introduction to mathematical philosophy[M]. London: George Allen & Unwin,1919.
[17] Russell, B. A. My mental development [A]. P. A. Schillp(Ed.). The philosophy of Bertrand Russell [ C ]. LaSalle:Open Court,1944.
[18] Russell, B. A. The principles of mathematics, Draft of1899-1900[ A ]. G. H. Moore (Ed.). The collected papersof Bertrand Russell [C]. London: Routledge,1993.
[19] Sheffer, H. M.A set of five independent postulates forboolean algebras, with applications to logical constants[ J ].Transactions of the American Mathematical Society,1913（14）.
[20] Whitehead, A. N., & B. A. Russell. Principia mathematica[M]. Cambridge: Cambridge University Press. (Page refer-ences to second edition.),1910.
[责任编辑：戴庆瑄]
此文汇总：此文为一篇关于对写作《数学原理》和《数学原则》和命题逻辑论文范文与课题研究的大学硕士、数学本科毕业论文数学论文开题报告范文和相关文献综述及职称论文参考文献资料有帮助.
《小别离》背后的逻辑毁了多少孩子
文／罗静大量的调查和实验研究表明,专注力、自控力、好奇心、责任感、勇气和自信心……各种品质,才是孩子自立于社会的根本 而这些结合起来,恰恰构成了一个人良好的性格 看了最近热播的电视剧小别离,简单总结为.
基于能力本位的高职院校《管理学原理》教学改革
黄华俊(湖南常德职业技术学院,湖南 常德 415000)摘 要管理学原理是一门应用性很强的学科,教学目标主要是培养学生的管理思维和实践能力 文章遵循高职教育的培养目标,分析了管理学原理教学改革的必要性.
混合式教学在《经济数学》教学的应用
随着职业教育的飞速发展,学生接受并吸收知识和信息的途径不单单停留在课堂教学上,他们更多是从互联网上面接受来自不同领域的信息资源,所以如何创设线上教学资源学习和线下课堂学习完美结合的课堂情境成为了现阶段.
《机械原理》课程数字化教学模式
机械原理课程是机械类专业学生必修的很重要的一门技术基础课,主要研究机械机构的结构分析、运动分析……共性问题,及常用机构的设计原理与方法,并培养学生一定设计能力,为以后的学习和进行机械设计工作打下基础 .